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Toutes les conférences ont lieu dans la salle PK-5115 du pavillon Président-Kennedy.

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Détails des conférences
  • Xavier Viennot
  • LABRI, Bordeaux I
  • Vendredi 8 septembre, 10h
  • Processus d'exclusion asymétrique et tableaux de Catalan
  • Le but de cet exposé est de donner une solution à un problème ouvert posé par Einar Steingrimmson et Lauren Williams (math.CO/0507149, JCTA à paraître) relativement à certains tableaux dénombrés par les nombres de Catalan.

    Le modèle d'exclusion asymétrique décrit la diffusion de particules le long d'une chaîne de n cases avec la condition que chaque case ne peut être occupée que par au plus une particule. Les particules rentrent et sortent à chaque extrémité, sautent sur une des cases immédiatement voisines, chaque transition possible étant décrite par certaines probabilités. Ce modèle simple présente de très riches propriétés et a été beaucoup étudié par les physiciens, notamment par Bernard Derrida et ses coauteurs.

    Les "tableaux à permutations" sont simplement des diagrammes de Ferrers dont les cases sont remplies avec des 0 et des 1, soumis à certaines conditions. Ils ont été introduit (sous une forme un peu plus générale) par Alex Postnikov dans le contexte de sa théorie des "web graphs" et des "cellules totalement positives des Grassmaniennes". Ces tableaux sont en bijection avec les permutations et une bijection due à Postnikov est décrite (sous une forme simplifiée) par E. Steingrimsson et L. Williams. Sylvie Corteel et Lauren Williams ont donné une interprétation des probabilités stationnaires du modèle d'exclusion asymétrique en termes de ces "tableaux à permutations".

    Dans cet exposé, je me restreindrai au cas particulier des particules allant toujours vers la droite, avec probabilité d'entrée et sortie égales à 1. Dans ce cas, l'interprétation de Corteel-Williams est en termes de certains tableaux comptés par les nombres de Catalan (que je propose d'appeler "tableaux de Catalan"). Steingrimmson et Williams ont montré que ces tableaux étaient en bijection avec une classe de permutations définie par certain motif interdit et ont posé le problème de trouver une bijection avec des objets "classiques" du jardin des objets dénombrés par les nombres de Catalan. Je décrirai une bijection entre ces tableaux de Catalan et les arbres binaires. Cette bijection permet aussi de relier l'interprétation combinatoire des probabilités stationnaires données par Corteel-Williams à une autre donnée par Shapiro et Zeilberger en termes de paires de chemins (c'est à dire les classiques polyominos parallélogrammes). D'autres solutions au problème de Steigrimsson-Williams ont aussi été donné très récemment par Alexander Burstein, Sylvie Corteel, Niklas Eriksen et Astrid Reifegerste.